Применение метода Галеркина с разрывными базисными функциями к исследованию динамики изменения температуры и давления в пласте с нагнетательной скважиной и трещиной гидроразрыва

Руслан Викторович Жалнин; Виктор Федорович Масягин; Елизавета Евгеньевна Пескова; Владимир Федорович Тишкин

Руслан Викторович Жалнин ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»
Виктор Федорович Масягин ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» https://orcid.org/0000-0001-6738-8183
Елизавета Евгеньевна Пескова ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» https://orcid.org/0000-0003-2618-1674
Владимир Федорович Тишкин ИПМ им. М. В. Келдыша РАН https://orcid.org/0000-0001-7295-7002

Ключевые слова: разрывный метод Галеркина, вертикальная нагнетательная скважина, гидравлический разрыв пласта, уравнение конвективного теплообмена, уравнение неразрывности, закон Дарси, неструктурированные сетки, разнесенные сетки, MPI

Аннотация

Введение. В данной работе численно моделируется задача распространения температуры в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва, в который закачивается охлаждающая жидкость посредством вертикальной нагнетательной скважины.
Материалы и методы. Для описания процесса распространения температуры в пласте под действием нагнетаемой в него жидкости используется уравнение конвективного теплообмена Фурье – Кирхгофа. Для решения этого уравнения применяется метод Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках. Для описания процесса изменения давления в пласте под действием работы нагнетательной скважины применяется уравнение, полученное на основе уравнения неразрывности и закона Дарси. Для его решения используется метод Галеркина с разрывными базисными функциями на неструктурированной треугольной сетке. Для распараллеливания численного алгоритма применяется библиотека MPI.
Результаты исследования. В статье представлен численный алгоритм и результаты моделирования динамики полей температуры и давления в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва, в который посредством вертикальной нагнетательной скважины закачивается охлаждающая жидкость.
Обсуждение и заключение. Реализована численная методика на основе разрывного метода Галеркина для математического моделирования температурного поля и поля давления в нефтеносном пласте с трещиной гидроразрыва и нагнетательной скважиной. Полученные картины для распределения температуры и давления в пласте адекватны и хорошо согласуются с заданными начально-краевыми условиями. Дальнейшая работа в данном направлении предполагает моделирование на тетраэдральных неструктурированных сетках для более точного исследования протекающих процессов.

Биографии авторов

Руслан Викторович Жалнин, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»

ведущий научный сотрудник, заведующий кафедрой прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, доцент, Researcher ID: Q-6945-2016, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1103-3321, zhrv@mrsu.ru

Виктор Федорович Масягин, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»

старший научный сотрудник, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, Researcher ID: C-2439-2013, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6738-8183, vmasyagin@mrsu.ru

Елизавета Евгеньевна Пескова, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»

младший научный сотрудник, доцент кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики факультета математики и информационных технологий ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» (430005, Российская Федерация, г. Саранск, ул. Большевистская, д. 68), кандидат физико-математических наук, Researcher ID: U-7971-2019, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2618-1674, e.e.peskova@mail.ru

Владимир Федорович Тишкин, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН

заведующий отделом ИПМ им. М. В. Келдыша РАН (125047, Российская Федерация, г. Москва, Миусская пл., д. 4), член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор, Researcher ID: R-5820-2016, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-7295-7002, v.f.tishkin@mail.ru

Литература

1. Применение разрывного метода Галеркина для моделирования температурного поля в вертикальной скважине с трещиной гидроразрыва / В. Ф. Масягин, Ю. О. Бобренева, И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин // Системы управления и информационные технологии. – 2016. – № 1 (63). – С. 13–16. – URL: http://www.sbook.ru/suit/CONTENTS/160100.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

2. Sudirham, J. J. Space-Time Discontinuous Galerkin Method for Advection–Diffusion Problems on Time-Dependent Domains / J. J. Sudirham, J. J. W. Vegt, R. M. J. Damme. – DOI 10.1016/j.apnum.2005.11.003 // Applied Numerical Mathematics. – 2006. – Vol. 56, Issue 12. – Pp. 1491–1518. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0168927405002151?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

3. Oikawa, I. Hybridized Discontinuous Galerkin Method for Convection–Diffusion Problems / I. Oikawa. – DOI 10.1007/s13160-014-0137-5 // Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. – 2014. – Vol. 31, Issue 2. – Pp. 335–354. – URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s13160-014-0137-5 (дата обращения: 12.02.2021).

4. Local Discontinuous Galerkin Methods with Implicit-Explicit Time-Marching for Multi- Dimensional Convection-Diffusion Problems / H. Wang, S. Wang, Q. Zhang, C.-W. Shu. – DOI 10.1051/m2an/2015068 // ESAIM: M2AN. – 2016. – Vol. 50, No. 4. – Pp. 1083–1105. – URL: https://www.esaimm2an.org/articles/m2an/abs/2016/04/m2an150054/m2an150054.html (дата обращения: 12.02.2021).

5. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn. – DOI 10.1007/BFb0096353 // Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. Lecture Notes in Mathematics ; A. Quarteroni, ed. – Berlin : Springer, 1998. – Vol. 1697. – Pp. 150–268. – URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0096353 (дата обращения: 12.02.2021).

6. Cockburn, B. The Development of Discontinuous Galerkin Methods / B. Cockburn, G. E. Karniadakis, C.-W. Shu. – DOI 10.1007/978-3-642-59721-3_1 // Discontinuous Galerkin Methods. Lecture Notes in Computational Science and Engineering ; B. Cockburn, G. E. Karniadakis, C.-W. Shu (eds.). – Berlin : Springer, 2000. – Vol. 11. – Pp. 3–50. – URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-59721-3_1#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

7. Cockburn, B. Runge–Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems / B. Cockburn, C.-W. Shu. – DOI 10.1023/A:1012873910884 // Journal of Scientific Computing. – 2001. – Vol. 16, Issue 3. – Pp. 173–261. – URL: https://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1012873910884#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

8. Ladonkina, M. E. Application of the RKDG Method for Gas Dynamics Problems / M. E. Ladonkina, O. A. Neklyudova, V. F. Tishkin. – DOI 10.1134/S207004821404005X // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2014. – Vol. 6. – Pp. 397–407. – URL: https://link.springer.com/article/10.1134%2FS207004821404005X#citeas (дата обращения: 12.02.2021).

9. Ладонкина, М. Е. Использование усреднений для сглаживания решений в разрывном методе Галеркина / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклюдова, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.20948/prepr-2017-89 // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2017. – № 89. – 32 с. – URL: https://keldysh.ru/papers/2017/prep2017_89.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

10. Ladonkina, M. E. Impact of Different Limiting Functions on the Order of Solution Obtained by RKDG / M. E. Ladonkina, O. A. Neklyudova, V. F. Tishkin. – DOI 10.1134/S2070048213040091 // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2013. – Vol. 5 – Pp. 346–349. – URL: https://link.springer.com/article/10.1134%2FS2070048213040091 (дата обращения: 12.02.2021).

11. Krivodonova, L. Limiters for High-Order Discontinuous Galerkin Methods / L. Krivodonova. – DOI 10.1016/j.jcp.2007.05.011 // Journal of Computational Physics. – 2007. – Vol. 226, Issue 1. – Pp. 879–896. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999107002136?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

12. Zhao, L. A Priori and a Posteriori Error Analysis of a Staggered Discontinuous Galerkin Method for Convection Dominant Diffusion Equations / L. Zhao, E.-J. Park. – DOI 10.1016/j.cam.2018.06.040 // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2018. – Vol. 346. – Pp. 63–83. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042718303923?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

13. Du, J. An Adaptive Staggered Discontinuous Galerkin Method for the Steady State Convection–Diffusion Equation / J. Du, E. Chung. – DOI 10.1007/s10915-018-0695-9 // Journal of Scientific Computing. – 2018. – Vol. 77. – Pp. 1490–1518. – URL: https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10915-018-0695-9#article-info (дата обращения: 12.02.2021).

14. Tavelli, M. A Pressure-Based Semi-Implicit Space–Time Discontinuous Galerkin Method on Staggered Unstructured Meshes for the Solution of the Compressible Navier – Stokes Equations at All Mach Numbers / M. Tavelli, M. Dumbser. – DOI 10.1016/j.jcp.2017.03.030 // Journal of Computational Physics. – 2017. – Vol. 341. – Pp. 341–376. – URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999117302255?via%3Dihub (дата обращения: 12.02.2021).

15. Chung, E. T. A Sub-Grid Structure Enhanced Discontinuous Galerkin Method for Multiscale Diffusion and Convection-Diffusion Problems / E. T. Chung, W. T. Leung. – DOI 10.4208/cicp.071211.070912a // Communications in Computational Physics. – 2013. – Vol. 14, Issue 2. – Pp. 370–392. – URL: https://clck.ru/TFW77 (дата обращения: 12.02.2021).

16. Решение трехмерных уравнений теплопроводности с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.14498/vsgtu1351 // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки. – 2015. – Т. 19, № 3. – С. 523–533. – URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vsgtu &paperid=1351&option_lang=rus (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

17. Применение разрывного метода Галеркина для решения параболических задач в анизотропных средах на треугольных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.14529/mmp160313 // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 144–151. – URL: https://mmp.susu.ru/pdf/v9n3st13.pdf (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

18. Решение задач о нестационарной фильтрации вещества с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин. – DOI 10.7868/S0044466916060247 // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2016. – Т. 56, № 6. – С. 989–998. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?doi=10.7868/S0044466916060247 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

19. Применение разрывного метода Галеркина для решения обратной задачи диффузии лекарственных веществ из хитозановых пленок / И. М. Губайдуллин, Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин [и др.] // Журнал Средневолжского математического общества. – 2016. – Т. 18, № 2. – С. 94–105. – URL: http://journal.svmo.ru/archive/article?id=1420 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

20. Васильев, В. И. Решение задач однофазной фильтрации методом конечных элементов на вычислительном кластере / В. И. Васильев, М. В. Васильева, Д. Я. Никифоров // Вестник Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова. – 2016. – № 6. – С. 8–17. – URL: https://clck.ru/TFXvw (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.

21. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D. N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L. D. Marini. – DOI 10.1137/S0036142901384162 // SIAM Journal on Numerical Analysis. – 2002. – Vol. 39, Issue 5. – Pp. 1749–1779. – URL: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036142901384162 (дата обращения: 12.02.2021).

22. Li, В. Q. Discontinuous Finite Elements in Fluid Dynamics and Heat Transfer / В. Q. Li. – DOI 10.1007/1-84628-205-5 // London : Springer, 2006. – 578 p. – URL: https://link.springer.com/book/10.1007/1-84628-205-5#authorsandaffiliationsbook (дата обращения: 12.02.2021).

23. Жалнин, Р. В. Построение параллельного вычислительного алгоритма на основе разрывного метода Галеркина для решения задач конвективного теплообмена на разнесенных неструктурированных сетках / Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, Е. Е. Пескова. – DOI 10.15507/2079-6900.20.201804.448-459 // Журнал Средневолжского математического общества. – 2018. – Т. 20, № 4. – С. 448–459. – URL: http://journal.svmo.ru/archive/article?id=1636 (дата обращения: 12.02.2021). – Рез. англ.