О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны
Аннотация
Введение. Рассматриваемая задача гашения поперечных колебаний продольно дви-
жущейся струны актуальна для производственных процессов, связанных с продоль-
ным движением материалов (например, бумажного полотна). Для данных процессов
крайне нежелательными являются поперечные возмущения, которые в вертикаль-
ном сечении описываются гиперболическим уравнением продольно движущейся
струны. Вследствие этого возникает задача гашения колебаний за конечное время.
Материалы и методы. Для решения задачи гашения колебаний в статье произво-
дится ее сведение к тригонометрической проблеме моментов на произвольном вре-
менном отрезке. При рассмотрении движущихся материалов построение базисных
систем, образующих проблему моментов, является отдельной задачей, поскольку
гиперболическое уравнение содержит смешанную производную (кориолисово уско-
рение). По этой причине в данном случае неприменим классический метод разде-
ления переменных. Вместо него был использован новый метод нахождения авто-
модельных решений нестационарных уравнений, что позволяет найти базисные
системы в явном виде.
Результаты исследования. В случае с бумажным полотном находится минималь-
ный во всем классе допустимых возмущений временной отрезок, на котором обра-
зующая проблему моментов тригонометрическая система является базисом Рисса.
Это позволяет с использованием сопряженной ей системы найти соответствующее
минимальному времени гашения колебаний оптимальное управление (в виде ряда)
и, таким образом, построить т. н. оптимальный демпфер.
Обсуждение и заключение. В результате исследования было построено обобщенное
решение задачи гашения поперечных колебаний. Получено точное время гашения,
а именно такое время T0, при котором полная энергия системы равна нулю. Найдено
оптимальное управление в виде ряда Фурье.
Литература
Journal of Control and Optimization. 1983. Vol. 21, Issue 1. P. 68–85. DOI: https://doi.org/10.1137/0321004
2. Archibald F. R., Emslie A. G. The vibration of a string having a uniform motion along its length //
Journal of Applied Mechanics. 1958. Vol. 25, Issue 1. P. 347–348.
3. Lions J. L. Exact controllability for distributed systems // SIAM Review. 1988. Vol. 30, Issue 1.
P. 1–68. DOI: https://doi.org/10.1137/1030001
4. Levinson N. Gap and density theorem // Colloquium Publications. 1940. Vol. 26. 246 p. DOI:
http://dx.doi.org/10.1090/coll/026
5. Mahalingam S. Transverse vibrations of power transmission chains // British Journal of Applied
Physics. 1957. Vol. 8, no. 4. P. 145–148. URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0508-3443/8/4/303/pdf
6. Sack R. A. Transverse oscillations in traveling strings // British Journal of Applied Physics. 1954.
Vol. 5, no. 6. P. 224–226. DOI: https://doi.org/10.1088/0508-3443/5/6/307
7. Mechanics of moving materials / N. Banichuk [et al.]. Switzerland : Springer, 2014. 207 p.
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-01745-7
8. Билалов Б. Т. О базисности системы {eiα nxsin(nx)} экспонент со сдвигом // Доклады Акаде-
мии наук. 1995. Т. 345, № 2. С. 644–647
9. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations:
recent progress and open questions // SIAM Review. 1978. Vol. 20, no. 4. P. 639–739. DOI: https://
doi.org/10.1137/1020095
10. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами : моно-
графия. М. : Наука, 1975. 568 с. URL: https://www.twirpx.com/file/34383
11. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Аналитические и численные методы в за-
даче гашения колебаний струны точечным демпфером // Мехатроника, автоматизация, управление.
2006. № 7. С. 28–35.
12. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. О гашении колебаний круглой мембраны
с помощью кольцевого демпфера // Труды ИСА РАН. 2007. Т. 29 (1), № 11. С. 54–59.
13. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных : монография. М. :
Наука, 1983. 424 с.
14. Атамуратов A. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Проблема моментов в задачах управ-
ления упругими динамическими системами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016.
Т. 17, № 9. С. 587–598 DOI: https://doi.org/10.17587/mau.17.587-598
15. Муравей Л. А., Романенков А. М., Петров В. М. Оптимальное управление нелинейными
процессами в задачах математической̆ физики : монография. М. : Изд-во МАИ, 2018. 159 с.
16. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничного управления смещением или упругой
силой на одном конце струны за произвольное достаточно большое время // Автоматика и телеме-
ханика. 2008. № 3. С. 7–16 URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&p
aperid=617&option_lang=rus
17. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Граничное управление колебаниями струны, минимизиру-
ющее интеграл от степени p ≥ 1 модуля управления или его производной // Автоматика и телемеха-
ника. 2007. № 2. С. 113–119 URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&
paperid=943&option_lang=rus
18. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны //
Успехи математических наук. 2005. Т. 60, вып. 6. С. 89–114. DOI: https://doi.org/10.4213/rm1678
19. Malookani R., Van Horssen W. T. On the vibrations of an axially moving string with a timedependent
velocity // Proceedings of the ASME 2015 International Mechanical Engineering Congress and
Exposition. 2015. P. V04BT04A061. DOI: https://doi.org/10.1115/IMECE2015-50452
20. Муравей Л. А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вестник МГУ
(Сер. 15 «Вычислительная математика и кибернетика»). 1998. № 3. С. 7–13.
21. Гурченков А. А., Муравей Л. А., Романенков А. М. Моделирование и оптимизация техно-
логического процесса ионно-лучевого травления // Инженерный журнал: наука и инновации. 2014.
№ 2 (26). DOI: https://doi.org/10.18698/2308-6033-2014-2-1211
