Параметризация задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами

Аннотация

Введение. В статье приводятся результаты анализа численных методов решения за-
дачи Коши для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с кон-
трастными структурами (внутренними слоями). Подобные уравнения моделируют
различные прикладные задачи гидроаэромеханики, химической кинетики, теории
каталитических реакций и т. д. Получить аналитическое решение этих задач удается
редко, а их численное решение сопряжено со значительными трудностями, связан-
ными с плохой обусловленностью в окрестности пограничных и внутренних слоев.
Целью статьи является анализ области применения традиционных численных мето-
дов к решению задач данного класса и апробация альтернативных методов решения.
Материалы и методы. Для численного решения задачи Коши используются тра-
диционные явные методы Эйлера и Рунге-Кутты четвертого порядка точности,
а также неявный метод Эйлера с постоянным и переменным шагом. В качестве аль-
тернативы предложено использовать метод продолжения решения по наилучшему
аргументу, который заключается в замене исходного аргумента задачи на новый, от-
считываемый вдоль интегральной кривой задачи. Переход к наилучшему аргументу
позволяет получить наилучшим образом обусловленную задачу Коши.
Результаты исследования. На примере решения тестовой задачи показаны вычи-
слительные затруднения, возникающие при решении уравнений с контрастными
структурами традиционными явными и неявными методами. Они выражаются
в значительном уменьшении шага интегрирования в окрестности пограничных
слоев, что приводит к увеличению времени счета и усложнению процесса решения
сверхжестких задач. Достоверность полученных результатов подтверждается сопо-
ставлением с аналитическим решением и известными работами других авторов.
Обсуждение и заключение. Результаты вычислительного эксперимента демонстри-
руют применимость традиционных методов решения задачи Коши к уравнениям
с контрастными структурами лишь при малой жесткости, в остальных случаях
данные методы малоэффективны. Показано, что метод продолжения решения по
наилучшему аргументу позволяет снять большинство недостатков, присущих не-
преобразованной задаче. Это отражается в снижении времени счета и увеличении
точности полученного решения.