Простейшая дифференциальная игра на плоскости с четырьмя участниками

Виктор Дмитриевич Ширяев; Елена Викторовна Шагилова

Виктор Дмитриевич Ширяев ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»
Елена Викторовна Шагилова ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва» https://orcid.org/0000-0003-0267-6082

Ключевые слова: простое движение, характеристическая функция, дележ, опти- мальная траектория, устойчивость решения, С-ядро, вектор Шепли

Аннотация

Введение. В статье рассматривается простейшая дифференциальная игра с четырь-
мя участниками. Игроки перемещаются на плоскости и совершают простое дви-
жение. Рассматриваемая игра сводится к кооперативной дифференциальной игре.
Показывается динамическая устойчивость таких принципов оптимальности, как
С-ядро и вектор Шепли.
Материалы и методы. Для анализа и решения кооперативной дифференциальной
игры применяются стандартные процедуры кооперативной теории игр. Условно-оп-
тимальные траектории, вдоль которых осуществляется движение игроков, находят-
ся с использованием принципа максимума Понтрягина. При построении характери-
стической функции используется минимаксный подход.
Результаты исследования. В явном виде выписаны оптимальные управления (стра-
тегии) игроков, а также условно-оптимальные траектории их движения при раз-
личных способах образования коалиций. Характеристическая функция построена
в соответствии с принятым принципом максимина, а в качестве решения рассматри-
ваются С-ядро и вектор Шепли. В явном виде выписаны компоненты вектора Ше-
пли, показана принадлежность вектора Шепли С-ядру, а также непустота С-ядра при
движении игроков вдоль оптимальной траектории. Используя результаты статиче-
ской кооперативной теории игр при исследовании дифференциальных игр, исследо-
ватели сталкиваются с проблемами, которые связаны со спецификой дифференци-
альных уравнений движения. В качестве первоочередной здесь выступает проблема
динамической устойчивости рассматриваемых принципов оптимальности. В работе
показывается динамическая устойчивость вектора Шепли и С-ядра.
Обсуждение и заключение. Результаты, полученные в ходе проведенного исследова-
ния, показывают целесообразность анализа динамической устойчивости рассматри-
ваемых принципов оптимальности.

Биография автора

Елена Викторовна Шагилова, ФГБОУ ВО «МГУ им. Н. П. Огарёва»

доцент, кафедра фундаментальной информатики

Литература

1. Петросян Л. А., Ширяев В. Д. Групповое преследование одним преследователем несколь-
ких преследуемых // Вестник Ленинградского университета. Сер. 1: Математика, механика и астро-
номия. 1980. № 13. С. 50–57.
2. Ширяев В. Д. О задачах простого преследования с четырьмя участниками // Математиче-
ское моделирование сложных систем. СПб., 1999. С. 52–53.
3. Петросян Л. А., Рихсиев Б. Б. Преследование на плоскости. М. : Наука, 1991. 96 с.
4. Абрамянц Т. Г., Маслов Е. П., Рубинович Е. Я. Простейшая дифференциальная игра по-
очередного преследования // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8. С. 5–15. URL: http://www.mathnet.
ru/links/18b651a96ec80bd34126bef353968bc9/at7146.pdf
5. Шевченко И. И. О поочередном преследовании // Автоматика и телемеханика. 1981. № 11.
С. 54–59. URL: http://www.mathnet.ru/links/56042ca7de6dcc2aca19b4094cf18822/at6041.pdf
6. Петросян Л. А. Устойчивость решений дифференциальных игр со многими участниками //
Вестник Ленинградского университета. Cер. 1: Математика. Механика. Астрономия. 1977. № 4.
С. 46–52.
7. Ширяев В. Д., Бикмурзина Р. Р. Динамическая устойчивость решения в простой дифферен-
циальной игре четырех лиц // Научные труды SWorld. 2015. Вып. 2 (39), т. 7. С. 60–64. URL: http://
www.sworld.com.ua/konfer39/97.pdf
8. Petrosjan L. A. Strongly time consistent optimality principles in the games with discount payoffs //
Lecture Notes in Control and Information Sciences. 1994. No. 197. P. 513–520.
9. Петросян Л. А., Данилов Н. Н. Устойчивость решений в неантагонистических дифферен-
циальных играх с трансферабельными выигрышами // Вестник Ленинградского университета.
Сер. 1 : Математика. Механика. Астрономия. 1979. № 1. С. 52–59.
10. Петросян Л. А. Построение сильно динамически устойчивых решений в кооперативных
дифференциальных играх // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1: Математика, ме-
ханика и астрономия. 1992. № 4. С. 33–38.
11. Петросян Л. А. Сильно динамически устойчивые дифференциальные принципы оптималь-
ности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1: Математика, механика, астрономия.
1993. № 4. С. 40–46.
12. Петросян Л. А., Кузютин Д. В. Устойчивые решения позиционных игр. СПб. : Изд-во
СПбГУ, 2008. 326 с.
13. Yeung D. W. K., Petrosyan L. A. Subgame consistent cooperative solutions in stochastic differential
games // Journal of Optimization Theory and Applications. 2004. Vol. 120, Issue 3. P. 651–666.
DOI: https://doi.org/10.1023/B:JOTA.0000025714.04164.e4
14. Kreps D. M., Ramey G. Structural consistency, consistency, and sequential rationality // Econometrica.
1987. Vol. 55, Issue 6. P. 1331–1348. DOI: https://doi.org/10.2307/1913559
15. Peleg B., Tijs S. The consistency principle for games in strategic form // International Journal of
Game Theory. 1996. Vol. 25, Issue 1. P. 13–34. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01254381
16. Kydland F. E., Prescott E. C. Rules rather than discretion: the inconsistency of optimal plans //
The Journal of Political Economy. 1977. Vol. 85, no. 3. P. 473–492. URL: http://citeseerx.ist.psu.edu/
viewdoc/download?doi=10.1.1.603.6853&rep=rep1&type=pdf
17. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин [и др.]. 2-е изд. М. :
Наука, 1969. 384 с.