Алгоритм решения задачи оптимального управления химико-технологическим процессом с терминальными ограничениями
Ключевые слова:
задача оптимального управления, терминальные ограничения, метод штрафов, искусственные иммунные системы, химико-технологический процесс
Аннотация
Введение. Задача определения оптимальных режимных параметров при математическом моделировании химико-технологических процессов является важнейшей задачей. Численные методы и алгоритмы решения создают основу для разработки программных комплексов для расчета процессов и их цифровых двойников. Математическую модель химико-технологического процесса можно описать системой дифференциальных уравнений, выделив фазовые переменные, определяющие состояние процесса, и параметры управления, которые можно изменять и влиять тем самым на течение процесса. Целью работы является разработка численного алгоритма решения задачи оптимального управления химико-технологическим процессом при наличии терминальных ограничений и ограничений на параметр управления.
Материалы и методы. Сформулирована задача оптимального управления в общем виде. Для ее решения применены метод штрафов и метод искусственных иммунных систем. Описан способ включения ограничений в функцию штрафа и выбора последовательности коэффициентов, с которыми берется штраф. Для преодоления локальных экстремумов использован случайный выбор начальных значений управляющих параметров.
Результаты исследования. Приведен пошаговый численный алгоритм решения задачи оптимального управления химико-технологическим процессом с терминальными ограничениями. Проведен вычислительный эксперимент для модельного примера, в результате которого определена структура оптимального управления процессом и соответствующие оптимальные траектории фазовых переменных. Показано, что рассчитанное решение задачи оптимального управления согласуется с решением, полученным методом игольчатой линеаризации.
Обсуждение и заключение. Разработанный алгоритм позволяет найти численное решение задачи оптимального управления химико-технологическим процессом с терминальными ограничениями.
Литература
1. Численный алгоритм решения задачи оптимального управления с терминальными ограничениями для динамических систем / Е. В. Антипина [и др.] // Автометрия. 2020. Т. 56, № 6. С. 132–140. doi: https://doi.org/10.15372/AUT20200615
2. Горнов А. Ю. Алгоритмы решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 44–50. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=11913113 (дата обращения: 10.05.2022).
3. Benita F., Mehlitz P. Optimal Control Problems with Terminal Complementarity Constraints // SIAM Journal on Optimization. 2018. Vol. 28, Issue 4. P. 3079–3104. doi: https://doi.org/10.1137/16M107637X
4. Iori T., Kawano Yu., Ohtsuka T. Algebraic Approach to Nonlinear Optimal Control Problems with Terminal Constraints: Sufficient Conditions for Existence of Algebraic Solutions // SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration. 2018. Vol. 11, Issue 3. P. 198–206. doi: https://doi.org/10.9746/jcmsi.11.198
5. Карамзин Д. Ю. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при ослабленных предположениях управляемости // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2018. № 20. С. 46–61. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36422015 (дата обращения: 10.05.2022).
6. Арутюнов А. В., Жуков Д. А. Исследование одной линейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями // Владикавказский математический журнал. 2010. Т. 12, № 1. С. 3–9. URL: http://mi.mathnet.ru/rus/vmj/v12/i1/p3 (дата обращения: 10.05.2022).
7. Longla M. Pontryagin’s Principle of Maximum for Linear Optimal Control Problems with Phase Constraints in Infinite Dimensional Spaces // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2008. Issue 4. P. 5–19. URL: https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8586 (дата обращения: 10.05.2022).
8. Bergounioux M., Bourdin L. Pontryagin Maximum Principle for General Caputo Fractional Optimal Control Problems with Bolza Cost and Terminal Constraints // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2020. Vol. 26. P. 38. doi: https://doi.org/10.1051/cocv/2019021
9. Smith S., Mayne D. Q. Exact Penalty Algorithm for Optimal Control Problems with Control and Terminal Constraints // International Journal of Control. 1988. Vol. 48, Issue 1. P. 257–271. doi: https://doi.org/10.1080/00207178808906173
10. Gugat M., Zuazua E. Exact Penalization of Terminal Constraints for Optimal Control Problems // Optimal Control Applications and Methods. 2016. Vol. 37, Issue 6. P. 1329–1354. doi: https://doi.org/10.1002/oca.2238
11. Gao X., Zhang X., Wang Y. A Simple Exact Penalty Function Method for Optimal Control Problem with Continuous Inequality Constraints [Электронный ресурс] // Abstract and Applied Analysis. 2014. Vol. 2014. doi: https://doi.org/10.1155/2014/752854
12. Malisani P., Chaplais F., Petit N. An Interior Penalty Method for Optimal Control Problems with State and Input Constraints of Nonlinear Systems // Optimal Control Applications and Methods. 2014. Vol. 37, Issue 1. P. 3–33. doi: https://doi.org/10.1002/oca.2134
13. Pan L. P., Teo K. L. Linear-Nonquadratic Optimal Control Problems with Terminal Inequality Constraints // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1997. Vol. 212, Issue 1. P. 176–189. doi: https://doi.org/10.1006/jmaa.1997.5489
14. Duan Y. Application of Penalty Function Method and the Conjugate Gradient Method in Economic Scheduling of Cascade Hydropower Stations // IFAC Proceedings Volumes. 1986. Vol. 19, Issue 10. P. 227–232. doi: https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)59671-8
15. An Exact Penalty Method for Free Terminal Time Optimal Control Problem with Continuous Inequality Constraints / C. Jiang [et. al.] // Journal of Optimization Theory and Applications. 2012. Vol. 154. P. 30–53. doi: https://doi.org/10.1007/s10957-012-0006-9
16. Biegler L. T. Integrated Optimization Strategies for Dynamic Process Operations // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2017. Vol. 51, Issue 6. P. 910–927. doi: https://doi.org/10.1134/S004057951706001X
17. Optimized Choice of Parameters in Interiorpoint Methods for Linear Programming / L.-R. Santos [et. al.] // Computational Optimization and Applications. 2019. Vol. 73. P. 535–574. doi: https://doi.org/10.1007/s10589-019-00079-9
18. Карпенко А. П., Щербакова Н. О., Буланов В. А. Гибридный алгоритм глобальной оптимизации на основе алгоритмов искусственной иммунной системы и роя частиц // Машиностроение и компьютерные технологии. 2014. № 3. С. 255–274. URL: https://clck.ru/uwmDo (дата обращения: 10.05.2022).
19. Wei Y. H., Wang J. Z. An Artificial Immune System Approach to Business Process Mining // AMR. 2012. Vol. 472–475. P. 35–38. doi: https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amr.472-475.35
20. Search for the Optimal Ratio of the Initial Substances of a Chemical Reaction Based on Evolutionary Calculations / S. Mustafina [et. al.] // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2020. Vol. 15, Issue 1. P. 56–60. URL: http://www.arpnjournals.org/jeas/research_papers/rp_2020/jeas_0120_8067.pdf (дата обращения: 10.05.2022).
21. Михерский Р. М. Применение искусственной иммунной системы для распознавания зрительных образов // Компьютерная оптика. 2018. Т. 42, № 1. С. 113–117. doi: https://doi.org/10.18287/2412-6179-2018-42-1-113-117
22. Самигулина Г. А. Разработка интеллектуальных экспертных систем прогнозирования и управления на основе искусственных иммунных систем // Теоретическая информатика. 2009. Вып. 4. С. 15–22. URL: https://clck.ru/uvy6P (дата обращения: 10.05.2022).
23. Бардачев Ю. Н., Дидык А. А. Использование положений теории опасности в искусственных иммунных системах // Автоматика, автоматизация, электротехнические комплексы и системы. 2007. № 2. С. 107–111. URL: https://aaecs.org/bardachev-yun-didik-aa-ispolzovanie-polojenii-teoriiopasnosti-v-iskusstvennih-immunnih-sistemah.html (дата обращения: 10.05.2022).
24. Artificial Immune Systems Optimization Approach for Multiobjective Distribution System Reconfiguration / F. R. Alonso [et al.] // IEEE Transactions on Power Systems. 2015. Vol. 30, Issue 2. P. 840–847. doi: https://doi.org/10.1109/TPWRS.2014.2330628
25. Антипина Е. В., Мустафина С. А., Антипин А. Ф. Поиск оптимальных режимных параметров каталитического процесса на основе эволюционных вычислений // Теоретические основы химической технологии. 2022. Т. 56, № 2. С. 158–166. URL: https://sciencejournals.ru/view-article/?j=toht&y=2022&v=56&n=2&a=TOHT2202003Antipina (дата обращения: 10.05.2022).
26. Clonal Optimization-Based Negative Selection Algorithm with Applications in Motor Fault Detection / X. Z. Gao [et. al.] // Neural Computing and Applications. 2009. Vol. 18, Issue 7. P. 719–729. doi: https://doi.org/10.1007/s00521-009-0276-9
27. Antipina E. V., Mustafina S. A., Antipin A. F. Algorithm of Solving a Multiobjective Optimization Problem on the Basis of a Kinetic Chemical Reaction Model // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2021. Vol. 57, Issue 6. P. 668–674. URL: https://jglobal.jst.go.jp/en/detail?JGLOBAL_ID=202202234405460173
28. Антипина Е. В., Антипин А. Ф. Алгоритм расчета оптимальных начальных концентраций веществ химических реакций // Вестник Технологического университета. 2017. Т. 20, № 13. С. 84–87. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=29745220 (дата обращения: 10.05.2022).
2. Горнов А. Ю. Алгоритмы решения задач оптимального управления с терминальными ограничениями // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 4. С. 44–50. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=11913113 (дата обращения: 10.05.2022).
3. Benita F., Mehlitz P. Optimal Control Problems with Terminal Complementarity Constraints // SIAM Journal on Optimization. 2018. Vol. 28, Issue 4. P. 3079–3104. doi: https://doi.org/10.1137/16M107637X
4. Iori T., Kawano Yu., Ohtsuka T. Algebraic Approach to Nonlinear Optimal Control Problems with Terminal Constraints: Sufficient Conditions for Existence of Algebraic Solutions // SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration. 2018. Vol. 11, Issue 3. P. 198–206. doi: https://doi.org/10.9746/jcmsi.11.198
5. Карамзин Д. Ю. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями при ослабленных предположениях управляемости // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2018. № 20. С. 46–61. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36422015 (дата обращения: 10.05.2022).
6. Арутюнов А. В., Жуков Д. А. Исследование одной линейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями // Владикавказский математический журнал. 2010. Т. 12, № 1. С. 3–9. URL: http://mi.mathnet.ru/rus/vmj/v12/i1/p3 (дата обращения: 10.05.2022).
7. Longla M. Pontryagin’s Principle of Maximum for Linear Optimal Control Problems with Phase Constraints in Infinite Dimensional Spaces // Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science. 2008. Issue 4. P. 5–19. URL: https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8586 (дата обращения: 10.05.2022).
8. Bergounioux M., Bourdin L. Pontryagin Maximum Principle for General Caputo Fractional Optimal Control Problems with Bolza Cost and Terminal Constraints // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2020. Vol. 26. P. 38. doi: https://doi.org/10.1051/cocv/2019021
9. Smith S., Mayne D. Q. Exact Penalty Algorithm for Optimal Control Problems with Control and Terminal Constraints // International Journal of Control. 1988. Vol. 48, Issue 1. P. 257–271. doi: https://doi.org/10.1080/00207178808906173
10. Gugat M., Zuazua E. Exact Penalization of Terminal Constraints for Optimal Control Problems // Optimal Control Applications and Methods. 2016. Vol. 37, Issue 6. P. 1329–1354. doi: https://doi.org/10.1002/oca.2238
11. Gao X., Zhang X., Wang Y. A Simple Exact Penalty Function Method for Optimal Control Problem with Continuous Inequality Constraints [Электронный ресурс] // Abstract and Applied Analysis. 2014. Vol. 2014. doi: https://doi.org/10.1155/2014/752854
12. Malisani P., Chaplais F., Petit N. An Interior Penalty Method for Optimal Control Problems with State and Input Constraints of Nonlinear Systems // Optimal Control Applications and Methods. 2014. Vol. 37, Issue 1. P. 3–33. doi: https://doi.org/10.1002/oca.2134
13. Pan L. P., Teo K. L. Linear-Nonquadratic Optimal Control Problems with Terminal Inequality Constraints // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1997. Vol. 212, Issue 1. P. 176–189. doi: https://doi.org/10.1006/jmaa.1997.5489
14. Duan Y. Application of Penalty Function Method and the Conjugate Gradient Method in Economic Scheduling of Cascade Hydropower Stations // IFAC Proceedings Volumes. 1986. Vol. 19, Issue 10. P. 227–232. doi: https://doi.org/10.1016/S1474-6670(17)59671-8
15. An Exact Penalty Method for Free Terminal Time Optimal Control Problem with Continuous Inequality Constraints / C. Jiang [et. al.] // Journal of Optimization Theory and Applications. 2012. Vol. 154. P. 30–53. doi: https://doi.org/10.1007/s10957-012-0006-9
16. Biegler L. T. Integrated Optimization Strategies for Dynamic Process Operations // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2017. Vol. 51, Issue 6. P. 910–927. doi: https://doi.org/10.1134/S004057951706001X
17. Optimized Choice of Parameters in Interiorpoint Methods for Linear Programming / L.-R. Santos [et. al.] // Computational Optimization and Applications. 2019. Vol. 73. P. 535–574. doi: https://doi.org/10.1007/s10589-019-00079-9
18. Карпенко А. П., Щербакова Н. О., Буланов В. А. Гибридный алгоритм глобальной оптимизации на основе алгоритмов искусственной иммунной системы и роя частиц // Машиностроение и компьютерные технологии. 2014. № 3. С. 255–274. URL: https://clck.ru/uwmDo (дата обращения: 10.05.2022).
19. Wei Y. H., Wang J. Z. An Artificial Immune System Approach to Business Process Mining // AMR. 2012. Vol. 472–475. P. 35–38. doi: https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amr.472-475.35
20. Search for the Optimal Ratio of the Initial Substances of a Chemical Reaction Based on Evolutionary Calculations / S. Mustafina [et. al.] // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2020. Vol. 15, Issue 1. P. 56–60. URL: http://www.arpnjournals.org/jeas/research_papers/rp_2020/jeas_0120_8067.pdf (дата обращения: 10.05.2022).
21. Михерский Р. М. Применение искусственной иммунной системы для распознавания зрительных образов // Компьютерная оптика. 2018. Т. 42, № 1. С. 113–117. doi: https://doi.org/10.18287/2412-6179-2018-42-1-113-117
22. Самигулина Г. А. Разработка интеллектуальных экспертных систем прогнозирования и управления на основе искусственных иммунных систем // Теоретическая информатика. 2009. Вып. 4. С. 15–22. URL: https://clck.ru/uvy6P (дата обращения: 10.05.2022).
23. Бардачев Ю. Н., Дидык А. А. Использование положений теории опасности в искусственных иммунных системах // Автоматика, автоматизация, электротехнические комплексы и системы. 2007. № 2. С. 107–111. URL: https://aaecs.org/bardachev-yun-didik-aa-ispolzovanie-polojenii-teoriiopasnosti-v-iskusstvennih-immunnih-sistemah.html (дата обращения: 10.05.2022).
24. Artificial Immune Systems Optimization Approach for Multiobjective Distribution System Reconfiguration / F. R. Alonso [et al.] // IEEE Transactions on Power Systems. 2015. Vol. 30, Issue 2. P. 840–847. doi: https://doi.org/10.1109/TPWRS.2014.2330628
25. Антипина Е. В., Мустафина С. А., Антипин А. Ф. Поиск оптимальных режимных параметров каталитического процесса на основе эволюционных вычислений // Теоретические основы химической технологии. 2022. Т. 56, № 2. С. 158–166. URL: https://sciencejournals.ru/view-article/?j=toht&y=2022&v=56&n=2&a=TOHT2202003Antipina (дата обращения: 10.05.2022).
26. Clonal Optimization-Based Negative Selection Algorithm with Applications in Motor Fault Detection / X. Z. Gao [et. al.] // Neural Computing and Applications. 2009. Vol. 18, Issue 7. P. 719–729. doi: https://doi.org/10.1007/s00521-009-0276-9
27. Antipina E. V., Mustafina S. A., Antipin A. F. Algorithm of Solving a Multiobjective Optimization Problem on the Basis of a Kinetic Chemical Reaction Model // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2021. Vol. 57, Issue 6. P. 668–674. URL: https://jglobal.jst.go.jp/en/detail?JGLOBAL_ID=202202234405460173
28. Антипина Е. В., Антипин А. Ф. Алгоритм расчета оптимальных начальных концентраций веществ химических реакций // Вестник Технологического университета. 2017. Т. 20, № 13. С. 84–87. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=29745220 (дата обращения: 10.05.2022).
Опубликован
2022-09-29
Раздел
Технологии, машины и оборудование
